Kalkulator kryterium Kelly'ego

Kryterium Kelly'ego (ang. Kelly criterion) to jedno z najpopularniejszych matematycznych pojęć w zakładach bukmacherskich. Każdy typer analizując mecz piłkarski zadaje sobie 2 bardzo ważne pytania: "kogo obstawić" i "za ile obstawić"?

Kryterium Kelly'ego odpowiada na to drugie pytanie, wylicza optymalną wartość procentową aktualnie posiadanego budżetu, jaką należy postawić na zakład tak aby długoterminowo uzyskać jak najwyższy zysk. Zapraszamy do zapoznania się ze szczegółami w artykule oraz z kalkulatorem.

Przygotowaliśmy też wersję kalkulatora bukmacherskiego działającą offline w arkuszu Microsoft Excel, możesz ściągnąć kalkulator kryterium Kelly'ego Excel i obliczać w MS Excel.

Spis treści

Wykresy i statystyka
Zbuduj przewagę nad bukmacherm dzięki matematyce.
John Larry Kelly, Jr
John Larry Kelly, Jr

John Kelly

John Larry Kelly, Jr. (1923–1965) urodził się w Corsican, Texas w USA. Był genialnym amerykańskim naukowcem, jego główne dziedziny wiedzy to fizyka, matematyka i początki informatyki. Przez lata pracował w jednym z najlepszych ośrodków badawczych na świecie Bell Labs gdzie zajmował się teorią informacji przesyłu danych w telekomunikacji.

To właśnie w Bell Labs w 1956 John Kelly opracował teorię, która została później nazwana "Kryterium Kelly'ego" i zrewolucjonizowała rynek finansowy i hazardowy. Okazało się, że pomiędzy transmisją danych a zarządzaniem kapitałem występują spore analogie. Oryginalny dokument Kelly'ego dostępny jest online "A New Interpretation of Information Rate".

Kryterium Kelly'ego

Kryterium Kelly'ego to matematyczny wzór wyznaczający optymalną stawkę zakładu w taki sposób aby zmaksymalizować wzrost kapitału przy jednoczesnej mocnej kontroli ryzyka utraty całych pieniędzy.

Najważniejszym założeniem w systemie bukmacherskich opartym na kryterium Kelly'ego jest posiadanie dodatniej wartości oczekiwanej granych zakładów (tzw. valuebet). Zakład powinien być zagrany jedynie w przypadku gdy typer oszacował większe prawdopodobieństwo suckesu niż wynika to z kursów wystawionych przez bukmachera (czyli bukmacher wystawił zawyżony kurs).

To właśnie tą niewielką przewagę wykorzystuje Kryterium Kellyego.

Kryterium Kelly'ego niestety nie jest świętym gralem dla graczy zakładów bukmacherskich i słabemu typerowi samo w sobie na nic się nie zda, źle wyselekcjonowane typy prowadzą do porażki i nie zmieni tego nawet najlepszy system bukmacherski. Kelly nie wybierze za nas dobrych typów, nie podpowie też czy typ jest warty zagrania czy nie.

Kryterium Kelly jedynie (lub aż) obliczy poprawną stawkę za jaką powinniśmy zagrać typ i nic więcej. To typer dzięki swojej wiedzy sportowej, doświadczeniu w typowaniu, umiejętności analitycznego myślenia musi znaleźć zakład, który posiada value.

Wzór na kryterium Kelly'ego

Stawka = [ K * ( p * k – 1) ] / (k – 1)

K – aktualny kapitał przeznaczony na zakłady
p – prawdopodobieństwo szans na zwycięstwo typu według gracza, ustalone w procentach
k – kurs zakładu oferowany przez bukmachera (zwrot w przypadku zwycięstwa) w notacji dziesiętnej

Jaki problem rozwiązuje Kryterium Kelly'ego?

Aby zobrazować działanie kryterium Kellyego w akcji wyobraźmy sobię grę z kasynem polegającą na rzucie standardową 6-ścienną kostką do gry z następującymi zasadami:

Kryterium Kelly'ego na podstawie rzutu monetą.
K=100, p=50%, k=3.00

Już na pierwszy rzut oka widać, że gracz ma nad kasynem przewagę gdyż wygrywa w 4 przypadkach a przegrywa tylko w 2. Przeliczając te dane na procenty gracz wygrywa w 66,66% przypadków a kasyno tylko w 33,33%. Każdy kolejny zakład w tej grze posiada dodatnią wartość oczekiwaną, wartość zakładu = 1,33 (2 x 66,66% / 100 - patrz valuebet). Wydaje się zatem, że przy tak dużej przewadze droga do zwycięstwa i zdobycia fortuny jest banalne prosta, czy aby na pewno?

Skąd gracz ma wiedzieć o jaką stawkę zagrać w każdym kolejnym rzucie? Czy ma to być płaska stawka $10, czy może progresywna? Od czego zacząć, czy w pierwszym rzucie postawić $10, $20 czy może $60? A co w przypadku postawienia $20 i przegranej? Wiele osób mogło by pomyśleć "co za pech, jeżeli w pierwszym rzucie przegrałem to patrząc na prawdopodobieństwo w rzucie kolejnym nie powinno się do ponownie zdarzyć więc podnoszę stawkę". Nic bardziej mylnego, skoro rzut kostką jest zdarzeniem losowym to gracz nie ma żadnego wpływu na to jaka liczba wypadnie, mimo iż na 100 rzutów statystycznie w 66 powinien wygrać a tylko 33 przegrać to nie może wykluczyć otrzymania serii 5, 10 lub nawet więcej nieprzychylnych wyrzutów z rzędu co może spowodować do utraty całego kapitału.

To właśnie problem doboru odpowiedniej stawki rozwiązuje kryterium Kelly'ego. Wysokość stawki w zakładzie zależna jest od 2 czynników:

Im większy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie wyższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im większa przewaga tym stawka w procentach będzie wyższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).

Im mniejszy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie niższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im mniejsza przewaga tym stawka w procentach będzie niższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).

Procentowa wysokość stawki na zakład zależy od wielkości przewagi na bukmacherem. W przykładzie gry kostką: 66,66% - 33,33% = ~33,32%. Jeżeli kursy bukmachera dają 48% procentowe szanse drużynie na sukces, a Twoje oszacowanie 51% wtedy zakład powinien wynieść 51 - 48 = 3% budżetu.

Liczbowa wysokość stawki na zakład zależy od wielkości budżetu. W przykładzie gry kostką budżet wynosi $100 więc stawka to $100 * 33,32% = $33,32. Po każdym zakładzie stawka jest aktualizowana o wygraną lub stratę i należy wykonać ponowne obliczenie.

Przykłady zakładów

Bazując na wyżej zdefiniowanych założeniach gry z kasynem podstawiamy wartości do wzoru na kryterium Kelly'ego i obliczamy optymalną stawkę na pierwszy zakład w następujący sposób:

Stawka = [ 100 x ( 0,6666 x 2,00 – 1) ] / (2,00 – 1)
Stawka = [ 100 x ( 1.33 – 1) ] / 1
Stawka = [ 100 x 0,33)
Stawka = $33

100 - całkowity kapitał na grę,
0,6666 - prawdopodobieństwo zwycięstwa (66,66% = 0,6666),
2,00 - kurs u bukmachera, czyli zwrot w przypadku zwycięstwa.

Zatem pierwszy zakład powinien wynosić $33. W przypadku zwycięstwa do kolejnego wzoru należy podstawić $133, w przypadku porażki $77.

Poniżej przedstawiamy 4 możliwe przebiegi gry w kostkę z kasynem.
Wartości w tabelach są różne z każdym odświeżeniem strony gdyż obliczane są na bieżąco w zależności od tego czy gracz wygrywa czy nie.

Przykład 1

budżetstawkawygrana
100,00 33,32 nie
66,68 22,22 tak
88,90 29,62 tak
118,52 39,49 nie
79,03 26,33 nie
52,70 17,56 nie
35,14 11,71 tak
46,85 15,61 tak
62,46 20,81 tak
83,27 27,75 nie
55,52 18,50 tak
74,02 24,66 tak
98,68 32,88 tak
131,56 43,84 tak
175,40 58,44 tak
233,84 77,92 nie
155,92 51,95 nie
103,97 34,64 tak
138,61 46,18 nie
92,43 30,80 tak

Przykład 2

budżetstawkawygrana
100,00 33,32 tak
133,32 44,42 nie
88,90 29,62 tak
118,52 39,49 tak
158,01 52,65 tak
210,66 70,19 nie
140,47 46,80 tak
187,27 62,40 tak
249,67 83,19 tak
332,86 110,91 nie
221,95 73,95 nie
148,00 49,31 tak
197,31 65,74 tak
263,05 87,65 tak
350,70 116,85 nie
233,85 77,92 tak
311,77 103,88 tak
415,65 138,49 tak
554,14 184,64 nie
369,50 123,12 tak

Przykład 3

budżetstawkawygrana
100,00 33,32 tak
133,32 44,42 tak
177,74 59,22 nie
118,52 39,49 tak
158,01 52,65 tak
210,66 70,19 nie
140,47 46,80 tak
187,27 62,40 tak
249,67 83,19 tak
332,86 110,91 tak
443,77 147,86 tak
591,63 197,13 tak
788,76 262,81 nie
525,95 175,25 tak
701,20 233,64 nie
467,56 155,79 tak
623,35 207,70 tak
831,05 276,91 tak
1 107,96 369,17 tak
1 477,13 492,18 nie

Przykład 4

budżetstawkawygrana
100,00 33,32 tak
133,32 44,42 tak
177,74 59,22 tak
236,96 78,96 tak
315,92 105,26 nie
210,66 70,19 nie
140,47 46,80 nie
93,67 31,21 tak
124,88 41,61 tak
166,49 55,47 nie
111,02 36,99 tak
148,01 49,32 tak
197,33 65,75 tak
263,08 87,66 nie
175,42 58,45 nie
116,97 38,97 tak
155,94 51,96 tak
207,90 69,27 tak
277,17 92,35 tak
369,52 123,12 nie

Patrząc na tabelki należy pamiętać, że jest to jedynie przykład, w którym gracz ma bardzo dużą przewagę nad kasynem. Wartość zakładu value = 1,33, co odpowiada stawce procentowej budżetu na poziomie 33,32%. W rzeczywistych zakładach bukmacherskich wartość ta będzie oscylować w przedziale 1,05 - 1,20.

Jak oszacować prawdopodobieństwo sukcesu?

Aby wyliczona stawka z wzoru na kryterium Kelly'ego była poprawna do powyższego wzoru należy wstawić poprawne "prawdopodobieństwo szans na zwycięstwo typu według gracza" i sprawdzić czy jest większe niż założył bukmacher.

Samo porównanie z prawdopodobieństwem bukmacher to pestka, większym problemem jest samo liczbowe oszacowanie szans na zwycięstwo. Zachodzi pytanie: w jaki sposób mam to wyliczyć?

Niestety nie ma jednoznacznej odpowiedzi, każdy typer musi oszacować według własnego uznania. Może istnieć wiele kluczy do dobrego oszacowania, jednak z na pewno dużo więcej kluczy jest błędnych. Typer na podstawie swojej wiedzy i doświadczenia, podpierając się statystykami i wyliczeniami musi obliczyć. Do takich wyliczeń można użyć np. kalkulatora rozkładu Poisson, który oblicza prawdopodobieństwo zwycięstwa na podstawie szacunkowej liczbie strzelonych goli.

Fakty dot. kryterium Kelly'ego

System bukmacherski Kelly'ego

System bukmacherski na podstawie kryterium Kelly to po prostu strategia obstawiania zakładów z wykorzystaniem założeń i stawek wyliczonych z wzoru Kelly'ego.

Wysokość zakładu zależna jest od wielkości kapitału dostępnego do gry oraz różnicy w oszacowaniu szans na sukces pomiędzy typerem a bukmacherem. Przeczytaj więcej o systemie Kelly w oddzielnym artykule.

Wśród graczy zakładów bukmacherskich funkcjonuje jeszcze pojęcie tzw. "ułamkowy system Kelly'ego". To po prostu drobna modyfikacja systemu zmniejszająca proporcjonalnie wyliczoną stawkę zakładu dzięki czemu system Kelly staje się mniej ryzykowny ale też będzie przynosił mniejsze profity. Ułamkowy 50% system Kelly'ego zmniejsza stawkę o połowę, ułamkowy 25% o 3/4 i tak dalej.

Założenia do systemu Kelly

Kalkulator bukmacherski Kelly'ego

Poniżej udostępniamy darmowy kalkulator bukmacherski kryterium Kelly'ego dla zakładów bukmacherskich, który na podstawie wprowadzonych danych obliczy optymalną stawkę na zakład. Kalkulator Kelly'ego dostępny jest też do ściągnięcia jako arkusz MS Excel. Pamiętaj, że aby typowanie systemem Kelly'ego przynosiło zyski typy muszą posiadać value - czyli musisz być przekonany, że bukmacher nie oszacował poprawnie szans sukcesu w meczu.

Wprowadź dane wejściowe niezbędne do wykonania obliczeń.
Zamień przykładowe dane swoimi danymi.



UWAGA! Poniższe wyliczenia zrobione są dla danych testowych. Wprowadź w formularzu własne dane i kliknij "oblicz".

Kurs bukmachera 1,91 Kurs pomniejszony o dodatkową opłatę/prowizję.
Kurs sprawiedliwy 1,67 Kurs odpowiadający wprowadzonemu prawdopodobieństwu.
Wartość zakładu 1,15 Przewaga nad bukmacherem, wartość powyżej 1.00 to valuebet, wartość mniejsza nie jest warta gry systemem Kelly'ego.
Optymalna stawka [j]: 160,44 Optymalna wysokość zakładu wyrażona w jednostkach budżetu.
Optymalna stawka [%]: 16,04 Optymalna wysokość zakładu wyrażona w procencie budżetu.
Zysk 146,00 Potencjalny zysk po wygraniu zakładu.
Strata 160,44 Potencjalna strata po przegraniu zakładu.




Skomentuj kalkulator kryterium Kelly'ego

Aby dodać komentarz zaloguj się w systemie Disqus.
Możesz komentować bez zalogowania jako gość, wpisz komentarz, "Nazwa","E-mail" i zaznacz pole "Wolę pisać jako gość" i kliknij strzałkę.