Kryterium Kelly'ego (ang. Kelly criterion) to jedno z najpopularniejszych matematycznych pojęć w zakładach bukmacherskich. Każdy typer analizując mecz piłkarski zadaje sobie 2 bardzo ważne pytania: "kogo obstawić" i "za ile obstawić"?
Kryterium Kelly'ego odpowiada na to drugie pytanie, wylicza optymalną wartość procentową aktualnie posiadanego budżetu, jaką należy postawić na zakład tak aby długoterminowo uzyskać jak najwyższy zysk. Zapraszamy do zapoznania się ze szczegółami w artykule oraz z kalkulatorem.
Przygotowaliśmy też wersję kalkulatora bukmacherskiego działającą offline w arkuszu Microsoft Excel, możesz ściągnąć kalkulator kryterium Kelly'ego Excel i obliczać w MS Excel.
John Kelly
John Larry Kelly, Jr. (1923–1965) urodził się w Corsican, Texas w USA. Był genialnym amerykańskim naukowcem, jego główne dziedziny wiedzy to fizyka, matematyka i początki informatyki. Przez lata pracował w jednym z najlepszych ośrodków badawczych na świecie Bell Labs gdzie zajmował się teorią informacji przesyłu danych w telekomunikacji.
To właśnie w Bell Labs w 1956 John Kelly opracował teorię, która została później nazwana "Kryterium Kelly'ego" i zrewolucjonizowała rynek finansowy i hazardowy. Okazało się, że pomiędzy transmisją danych a zarządzaniem kapitałem występują spore analogie. Oryginalny dokument Kelly'ego dostępny jest online "A New Interpretation of Information Rate".
Kryterium Kelly'ego
Kryterium Kelly'ego to matematyczny wzór wyznaczający optymalną stawkę zakładu w taki sposób aby zmaksymalizować wzrost kapitału przy jednoczesnej mocnej kontroli ryzyka utraty całych pieniędzy.
Najważniejszym założeniem w systemie bukmacherskich opartym na kryterium Kelly'ego jest posiadanie dodatniej wartości oczekiwanej granych zakładów (tzw. valuebet). Zakład powinien być zagrany jedynie w przypadku gdy typer oszacował większe prawdopodobieństwo suckesu niż wynika to z kursów wystawionych przez bukmachera (czyli bukmacher wystawił zawyżony kurs).
To właśnie tą niewielką przewagę wykorzystuje Kryterium Kellyego.
Kryterium Kelly'ego niestety nie jest świętym gralem dla graczy zakładów bukmacherskich i słabemu typerowi samo w sobie na nic się nie zda, źle wyselekcjonowane typy prowadzą do porażki i nie zmieni tego nawet najlepszy system bukmacherski. Kelly nie wybierze za nas dobrych typów, nie podpowie też czy typ jest warty zagrania czy nie.
Kryterium Kelly jedynie (lub aż) obliczy poprawną stawkę za jaką powinniśmy zagrać typ i nic więcej. To typer dzięki swojej wiedzy sportowej, doświadczeniu w typowaniu, umiejętności analitycznego myślenia musi znaleźć zakład, który posiada value.
Wzór na kryterium Kelly'ego
Stawka = [ K * ( p * k – 1) ] / (k – 1)
K – aktualny kapitał przeznaczony na zakłady
p – prawdopodobieństwo szans na zwycięstwo typu według gracza, ustalone w procentach
k – kurs zakładu oferowany przez bukmachera (zwrot w przypadku zwycięstwa) w notacji dziesiętnej
Jaki problem rozwiązuje Kryterium Kelly'ego?
Aby zobrazować działanie kryterium Kellyego w akcji wyobraźmy sobię grę z kasynem polegającą na rzucie standardową 6-ścienną kostką do gry z następującymi zasadami:
- gracz ma do dyspozycji budżet w wysokości $100,
- przed każdym rzutem wybiera stawkę o jaką gra,
- gdy wypada liczba 1, 2, 3, 4 - wygrywa,
- gdy wypada liczba 5, 6 - przegrywa.
Już na pierwszy rzut oka widać, że gracz ma nad kasynem przewagę gdyż wygrywa w 4 przypadkach a przegrywa tylko w 2. Przeliczając te dane na procenty gracz wygrywa w 66,66% przypadków a kasyno tylko w 33,33%. Każdy kolejny zakład w tej grze posiada dodatnią wartość oczekiwaną, wartość zakładu = 1,33 (2 x 66,66% / 100 - patrz valuebet). Wydaje się zatem, że przy tak dużej przewadze droga do zwycięstwa i zdobycia fortuny jest banalne prosta, czy aby na pewno?
Skąd gracz ma wiedzieć o jaką stawkę zagrać w każdym kolejnym rzucie? Czy ma to być płaska stawka $10, czy może progresywna? Od czego zacząć, czy w pierwszym rzucie postawić $10, $20 czy może $60? A co w przypadku postawienia $20 i przegranej? Wiele osób mogło by pomyśleć "co za pech, jeżeli w pierwszym rzucie przegrałem to patrząc na prawdopodobieństwo w rzucie kolejnym nie powinno się do ponownie zdarzyć więc podnoszę stawkę". Nic bardziej mylnego, skoro rzut kostką jest zdarzeniem losowym to gracz nie ma żadnego wpływu na to jaka liczba wypadnie, mimo iż na 100 rzutów statystycznie w 66 powinien wygrać a tylko 33 przegrać to nie może wykluczyć otrzymania serii 5, 10 lub nawet więcej nieprzychylnych wyrzutów z rzędu co może spowodować do utraty całego kapitału.
To właśnie problem doboru odpowiedniej stawki rozwiązuje kryterium Kelly'ego. Wysokość stawki w zakładzie zależna jest od 2 czynników:
- wielkości dostępnego na grę budżetu,
- wysokości przewagi przy zakładzie.
Im większy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie wyższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im większa przewaga tym stawka w procentach będzie wyższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).
Im mniejszy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie niższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im mniejsza przewaga tym stawka w procentach będzie niższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).
Procentowa wysokość stawki na zakład zależy od wielkości przewagi na bukmacherem. W przykładzie gry kostką: 66,66% - 33,33% = ~33,32%. Jeżeli kursy bukmachera dają 48% procentowe szanse drużynie na sukces, a Twoje oszacowanie 51% wtedy zakład powinien wynieść 51 - 48 = 3% budżetu.
Liczbowa wysokość stawki na zakład zależy od wielkości budżetu. W przykładzie gry kostką budżet wynosi $100 więc stawka to $100 * 33,32% = $33,32. Po każdym zakładzie stawka jest aktualizowana o wygraną lub stratę i należy wykonać ponowne obliczenie.
Przykłady zakładów
Bazując na wyżej zdefiniowanych założeniach gry z kasynem podstawiamy wartości do wzoru na kryterium Kelly'ego i obliczamy optymalną stawkę na pierwszy zakład w następujący sposób:
Stawka = [ 100 x ( 0,6666 x 2,00 – 1) ] / (2,00 – 1)
Stawka = [ 100 x ( 1.33 – 1) ] / 1
Stawka = [ 100 x 0,33)
Stawka = $33
100 - całkowity kapitał na grę,
0,6666 - prawdopodobieństwo zwycięstwa (66,66% = 0,6666),
2,00 - kurs u bukmachera, czyli zwrot w przypadku zwycięstwa.
Zatem pierwszy zakład powinien wynosić $33. W przypadku zwycięstwa do kolejnego wzoru należy podstawić $133, w przypadku porażki $77.
Poniżej przedstawiamy 4 możliwe przebiegi gry w kostkę z kasynem.
Wartości w tabelach są różne z każdym odświeżeniem strony gdyż obliczane są na bieżąco w zależności od tego czy gracz wygrywa czy nie.