Kryterium Kelly'ego (ang. Kelly criterion) to jedno z najpopularniejszych matematycznych pojęć w zakładach bukmacherskich. Każdy typer analizując mecz piłkarski zadaje sobie 2 bardzo ważne pytania: "kogo obstawić" i "za ile obstawić"?

Kryterium Kelly'ego odpowiada na to drugie pytanie, wylicza optymalną wartość procentową aktualnie posiadanego budżetu, jaką należy postawić na zakład tak aby długoterminowo uzyskać jak najwyższy zysk. Zapraszamy do zapoznania się ze szczegółami w artykule oraz z kalkulatorem.

Przygotowaliśmy też wersję kalkulatora bukmacherskiego działającą offline w arkuszu Microsoft Excel, możesz ściągnąć kalkulator kryterium Kelly'ego Excel i obliczać w MS Excel.

John Kelly

John Larry Kelly, Jr. (1923–1965) urodził się w Corsican, Texas w USA. Był genialnym amerykańskim naukowcem, jego główne dziedziny wiedzy to fizyka, matematyka i początki informatyki. Przez lata pracował w jednym z najlepszych ośrodków badawczych na świecie Bell Labs gdzie zajmował się teorią informacji przesyłu danych w telekomunikacji.

To właśnie w Bell Labs w 1956 John Kelly opracował teorię, która została później nazwana "Kryterium Kelly'ego" i zrewolucjonizowała rynek finansowy i hazardowy. Okazało się, że pomiędzy transmisją danych a zarządzaniem kapitałem występują spore analogie. Oryginalny dokument Kelly'ego dostępny jest online "A New Interpretation of Information Rate".

Kryterium Kelly'ego

Najważniejszym założeniem w systemie bukmacherskich opartym na kryterium Kelly'ego jest posiadanie dodatniej wartości oczekiwanej granych zakładów (tzw. valuebet). Zakład powinien być zagrany jedynie w przypadku gdy typer oszacował większe prawdopodobieństwo suckesu niż wynika to z kursów wystawionych przez bukmachera (czyli bukmacher wystawił zawyżony kurs).

To właśnie tą niewielką przewagę wykorzystuje Kryterium Kellyego.

Kryterium Kelly'ego niestety nie jest świętym gralem dla graczy zakładów bukmacherskich i słabemu typerowi samo w sobie na nic się nie zda, źle wyselekcjonowane typy prowadzą do porażki i nie zmieni tego nawet najlepszy system bukmacherski. Kelly nie wybierze za nas dobrych typów, nie podpowie też czy typ jest warty zagrania czy nie.

Kryterium Kelly jedynie (lub aż) obliczy poprawną stawkę za jaką powinniśmy zagrać typ i nic więcej. To typer dzięki swojej wiedzy sportowej, doświadczeniu w typowaniu, umiejętności analitycznego myślenia musi znaleźć zakład, który posiada value.

Wzór na kryterium Kelly'ego

Jaki problem rozwiązuje Kryterium Kelly'ego?

Aby zobrazować działanie kryterium Kellyego w akcji wyobraźmy sobię grę z kasynem polegającą na rzucie standardową 6-ścienną kostką do gry z następującymi zasadami:

• gracz ma do dyspozycji budżet w wysokości $100,
• przed każdym rzutem wybiera stawkę o jaką gra,
• gdy wypada liczba 1, 2, 3, 4 - wygrywa,
• gdy wypada liczba 5, 6 - przegrywa.

Już na pierwszy rzut oka widać, że gracz ma nad kasynem przewagę gdyż wygrywa w 4 przypadkach a przegrywa tylko w 2. Przeliczając te dane na procenty gracz wygrywa w 66,66% przypadków a kasyno tylko w 33,33%. Każdy kolejny zakład w tej grze posiada dodatnią wartość oczekiwaną, wartość zakładu = 1,33 (2 x 66,66% / 100 - patrz valuebet). Wydaje się zatem, że przy tak dużej przewadze droga do zwycięstwa i zdobycia fortuny jest banalne prosta, czy aby na pewno?

Skąd gracz ma wiedzieć o jaką stawkę zagrać w każdym kolejnym rzucie? Czy ma to być płaska stawka $10, czy może progresywna? Od czego zacząć, czy w pierwszym rzucie postawić $10, $20 czy może $60? A co w przypadku postawienia $20 i przegranej? Wiele osób mogło by pomyśleć "co za pech, jeżeli w pierwszym rzucie przegrałem to patrząc na prawdopodobieństwo w rzucie kolejnym nie powinno się do ponownie zdarzyć więc podnoszę stawkę". Nic bardziej mylnego, skoro rzut kostką jest zdarzeniem losowym to gracz nie ma żadnego wpływu na to jaka liczba wypadnie, mimo iż na 100 rzutów statystycznie w 66 powinien wygrać a tylko 33 przegrać to nie może wykluczyć otrzymania serii 5, 10 lub nawet więcej nieprzychylnych wyrzutów z rzędu co może spowodować do utraty całego kapitału.

To właśnie problem doboru odpowiedniej stawki rozwiązuje kryterium Kelly'ego. Wysokość stawki w zakładzie zależna jest od 2 czynników:

• wielkości dostępnego na grę budżetu,
• wysokości przewagi przy zakładzie.

Im większy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie wyższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im większa przewaga tym stawka w procentach będzie wyższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).

Im mniejszy budżet tym stawka w jednostkach budżetu będzie niższa (ale zawsze taka sama w procentach budżetu), im mniejsza przewaga tym stawka w procentach będzie niższa (wysokość w jednostkach zależna będzie od wielkości budżetu).

Przykłady zakładów

Bazując na wyżej zdefiniowanych założeniach gry z kasynem podstawiamy wartości do wzoru na kryterium Kelly'ego i obliczamy optymalną stawkę na pierwszy zakład w następujący sposób:

Zatem pierwszy zakład powinien wynosić $33. W przypadku zwycięstwa do kolejnego wzoru należy podstawić $133, w przypadku porażki $77.

Poniżej przedstawiamy 4 możliwe przebiegi gry w kostkę z kasynem.
Wartości w tabelach są różne z każdym odświeżeniem strony gdyż obliczane są na bieżąco w zależności od tego czy gracz wygrywa czy nie.

Patrząc na tabelki należy pamiętać, że jest to jedynie przykład, w którym gracz ma bardzo dużą przewagę nad kasynem. Wartość zakładu value = 1,33, co odpowiada stawce procentowej budżetu na poziomie 33,32%. W rzeczywistych zakładach bukmacherskich wartość ta będzie oscylować w przedziale 1,05 - 1,20.

Jak oszacować prawdopodobieństwo sukcesu?

Aby wyliczona stawka z wzoru na kryterium Kelly'ego była poprawna do powyższego wzoru należy wstawić poprawne "prawdopodobieństwo szans na zwycięstwo typu według gracza" i sprawdzić czy jest większe niż założył bukmacher.

Samo porównanie z prawdopodobieństwem bukmacher to pestka, większym problemem jest samo liczbowe oszacowanie szans na zwycięstwo. Zachodzi pytanie: w jaki sposób mam to wyliczyć?

Niestety nie ma jednoznacznej odpowiedzi, każdy typer musi oszacować według własnego uznania. Może istnieć wiele kluczy do dobrego oszacowania, jednak z na pewno dużo więcej kluczy jest błędnych. Typer na podstawie swojej wiedzy i doświadczenia, podpierając się statystykami i wyliczeniami musi obliczyć. Do takich wyliczeń można użyć np. kalkulatora rozkładu Poisson, który oblicza prawdopodobieństwo zwycięstwa na podstawie szacunkowej liczbie strzelonych goli.

Fakty dot. kryterium Kelly'ego

• Im większy kurs zakładu tym stawka niezbędna do zaryzykowania w zakładzie będzie mniejsza.
• Im mniejszy kurs zakładu tym stawka niezbędna do zaryzykowania w zakładzie będzie mniejsza.
• Kursy mniejsze niż @1.40 angażują sporą część kapitału mogą zatem mimo wszystko stanowić spore zagrożenie dla budżetu gracza. np. dla K=1000, k=1.30, p=90% co daje value=1,17 optymalna stawka to 566,67 czyli ponad połowa budżetu, natomiast dla kursu wyższego posiadającego identyczne value=1,17 np. dla K=1000, k=1.95, p=60% optymalna stawka spada do 178,95!
• Źle oszacowane prawdopodobieństwo sukcesu obniża poprawność działania systemu.
• Stawianie mniejszej lub niewiele większej stawki niż sugeruje kryterium Kelly'ego powoduje mniejsze zyski, stawianie stawek dwukrotnie większej powoduje oscylowanie zysku wokół zera, a stawki ponad dwukrotnie większe prowadzą do utraty całego kapitału. Idealnie obrazuje to wykres z tego artykułu.

System bukmacherski Kelly'ego

System bukmacherski na podstawie kryterium Kelly to po prostu strategia obstawiania zakładów z wykorzystaniem założeń i stawek wyliczonych z wzoru Kelly'ego.

Wysokość zakładu zależna jest od wielkości kapitału dostępnego do gry oraz różnicy w oszacowaniu szans na sukces pomiędzy typerem a bukmacherem. Przeczytaj więcej o systemie Kelly w oddzielnym artykule.

Wśród graczy zakładów bukmacherskich funkcjonuje jeszcze pojęcie tzw. "ułamkowy system Kelly'ego". To po prostu drobna modyfikacja systemu zmniejszająca proporcjonalnie wyliczoną stawkę zakładu dzięki czemu system Kelly staje się mniej ryzykowny ale też będzie przynosił mniejsze profity. Ułamkowy 50% system Kelly'ego zmniejsza stawkę o połowę, ułamkowy 25% o 3/4 i tak dalej.

Założenia do systemu Kelly

• Każdy zakład grany systemem Kelly'ego powinien posiadać posiadać zdaniem typera value.
• Grane zakłady powinny mieć jak najbardziej zbliżoną wysokość value.
• Siłą systemu Kelly'ego jest przynoszenie regularnego zysku w długim okresie czasu. Nie jest to system na 5-10 typów, grany w krótkim terminie traci swoje właściwości.